Simulation ARMA de processus stochastiques à partir de leur densité spectrale de puissance

Les méthodes constructives de résolution des problèmes aléatoires font largement appel à la simulation des trajectoires de processus stochastiques. Ce rapport présente plusieurs méthodes pour l'identification des paramètres d'un modèle ARMA discret qui représente au mieux un processus monodimensionnel physique donné, défini par sa seule densité spectrale de puissance. Si le processus cible modélise, par exemple, un "profil type" de route, le modèle ARMA obtenu permettra de simuler à volonté les sollicitations verticales appliquées à un véhicule en mouvement. L'identification du modèle ARMA cherché est liée à la minimisation de critères quadratiques non linéaires et non convexes. On construit en conséquence le modèle par des chemins détournés, en procédant à la factorisation spectrale du processus initial. On considère notamment à cet effet une technique originale basée sur la décomposition en série de Laurent de la densité spectrale, où le recours à la FFT (Fast Fourier Transform) permet une résolution particulièrement rapide et précise. Plusieurs méthodes sont ensuite présentées pour l'obtention du modèle ARMA ; l'utilisation systématique de la FFT permet là-encore un traitement informatique simple et efficace des équations. On présentera les résultats obtenus pour différents spectres de départ et pour finir on s'intéressera aux conditions pratiques d'utilisation du modèle en évoquant en particulier les difficultés qui surgissent lorsque l'on souhaite simuler des trajectoires avec un pas de temps très inférieur aux temps caractéristiques des fluctuations du processus

Business surveys modelling with Seasonal-Cyclical Long Memory models.

Business surveys are an important element in the analysis of the short-term economic situation because of the timeliness and nature of the information they convey. Especially, surveys are often involved in econometric models in order to provide an early assessment of the current state of the economy, which is of great interest for policy-makers. In this paper, we focus on non-seasonally adjusted business surveys relative to the Euro area released by the European Commission. We introduce an innovative way for modelling those series taking the persistence of the seasonal roots into account through seasonal-cyclical long memory models. We empirically prove that such models produce more accurate forecasts than classical seasonal linear models.Euro area ; business surveys ; seasonal ; long memory.

Filtres pour l’analyse courante

L’auteur montre comment les techniques actuelles de filtrage passe-bande et leurs prolongements peuvent servir à estimer des tendances et des cycles courants. Ces techniques donnent des estimations jugées « optimales » compte tenu des données disponibles. Les erreurs types s’y rattachant représentent donc la borne inférieure de la marge d’erreur qui serait associée aux résultats produits par d’autres techniques univariées. Dans cette étude, l’auteur examine les applications de ce filtre aux problèmes que pose l’estimation de la croissance de la productivité, de l’inflation de base et de l’écart de production observés.This paper shows how existing band-pass filtering techniques and their extension can be applied to the common current-analysis problem of estimating current trends or cycles. These techniques give estimates that are “optimal” given the available data, so their standard errors represent a lower bound on what can be achieved with other univariate techniques. Applications to the problems of estimating current trend productivity growth, core inflation, and output gaps are considered

Développements récents dans la modélisation de la persistance à long terme

Afin de modéliser efficacement la persistance dans les séries chronologiques rencontrées en hydrologie, des développements récents autour du modèle fractionnaire auto-régressif à moyenne mobile (FARMA) (fractional autoregressive-moving average model) sont présentés. On s'intéresse particulièrement ici à de nouvelles procédures permettant d'estimer les paramètres du modèle FARMA d'une manière efficace au point de vue calcul. Pour obtenir les distributions d'échantillons des estimateurs des paramètres à partir de petits échantillons, une technique faisant appel au bootstrap peut être utilisée. Des applications pratiques à des séries de débits en rivière, de précipitations et de températures, montrent l'utilité des modèles FARMA.In order to model effectively persistence in hydrologic tune series, recent developments in fractional autoregressive-moving average (FARMA) models are presented. A time series possesses persistence or long memory if it has an autocorrelation structure that attenuates slowly to zero with increasing lags. Based on the controversy surrounding the Hurst phenomenon, some hydrologists claim that it is important to employ stochastic models which have the ability to model long memory when it is present in a given time series. Fractional Gaussian noise models and approximations thereof were developed within the field of hydrology in order to be able to model long memory. However, a particularly flexible set of models having the capability to describe long memory is the FARMA family of models, which constitutes a direct generalization of autoregressive integrated moving average (ARIMA) models.In particular, like an ARIMA model, a FARMA model contains autoregressive and moving average parameters. Whereas the differencing operator d is restricted to be zero or take on positive integer values in an ARIMA model, the parameter d in a FARMA model can have real values and is estimated along with the other model parameters. For a specified range of values for the d parameter, a FARMA model has long memory. Besides reviewing the background and main theoretical properties of FARMA models, simulation and forecasting techniques are presented. Additionally, procedures for estimating the parameters of a FARMA model are given and a bootstrapping technique is described to obtain the small sample distributions of the estimated parameters.To explain how to apply FARMA models in practice and demonstrate their usefulness, they are fitted to riverflow, precipitation and temperature time series

Évaluation de critères d’information pour les modèles de séries chronologiques

Il existe plusieurs critères d’information dont le but est de faciliter la sélection du modèle statistique représentant le mieux possible la réalité. Ces critères s’appliquent notamment au cas des modèles de séries chronologiques à une seule variable. La théorie asymptotique peut être utilisée pour faire un choix entre ces critères. Par exemple, si le modèle possède un ordre authentique, il peut être démontré que certains critères sont fortement convergents pour cet ordre. Historiquement, l’estimation en échantillon fini se base sur la sélection d’un ordre unique, même si plusieurs auteurs reconnaissent l’importance du cas où il n’existe pas de vrai ordre fini. Nous proposons ici un survol de la littérature sur les critères d’information et sur leur comparaison asymptotique et en échantillons finis. Nous présentons également quelques comparaisons de critères en échantillons finis en ne prenant pas pour acquis un ordre authentique au modèle. Nous utilisons alors une mesure de distance dans le but d’évaluer les performances de divers critères dans la sélection de modèles simulés. Cette mesure nous permet de juger l’exactitude de la sélection de l’ordre des modèles résultant de l’utilisation des critères (la sélection non optimale) par rapport à la sélection de l’ordre des modèles simulés (la sélection optimale). Ceci n’est pas possible dans le cas où l’on assume une forme vraie par rapport à laquelle on compare notre modèle

Revue bibliographique des méthodes de prévision des débits

Dans le domaine de la prévision des débits, une grande variété de méthodes sont disponibles: des modèles stochastiques et conceptuels mais aussi des approches plus novatrices telles que les réseaux de neurones artificiels, les modèles à base de règles floues, la méthode des k plus proches voisins, la régression floue et les splines de régression. Après avoir effectué une revue détaillée de ces méthodes et de leurs applications récentes, nous proposons une classification qui permet de mettre en lumière les différences mais aussi les ressemblances entre ces approches. Elles sont ensuite comparées pour les problèmes différents de la prévision à court, moyen et long terme. Les recommandations que nous effectuons varient aussi avec le niveau d'information a priori. Par exemple, lorsque l'on dispose de séries chronologiques stationnaires de longue durée, nous recommandons l'emploi de la méthode non paramétrique des k plus proches voisins pour les prévisions à court et moyen terme. Au contraire, pour la prévision à plus long terme à partir d'un nombre restreint d'observations, nous suggérons l'emploi d'un modèle conceptuel couplé à un modèle météorologique basé sur l'historique. Bien que l'emphase soit mise sur le problème de la prévision des débits, une grande partie de cette revue, principalement celle traitant des modèles empiriques, est aussi pertinente pour la prévision d'autres variables.A large number of models are available for streamflow forecasting. In this paper we classify and compare nine types of models for short, medium and long-term flow forecasting, according to six criteria: 1. validity of underlying hypotheses, 2. difficulties encountered when building and calibrating the model, 3. difficulties in computing the forecasts, 4. uncertainty modeling, 5. information required by each type of model, and 6. parameter updating. We first distinguish between empirical and conceptual models, the difference being that conceptual models correspond to simplified representations of the watershed, while empirical model only try to capture the structural relationships between inputs to the watershed and outputs, such as streamflow. Amongst empirical models, we distinguish between stochastic models, i.e. models based on the theory of probability, and non-stochastic models. Three types of stochastic models are presented: statistical regression models, Box-Jenkins models, and the nonparametric k-nearest neighbor method. Statistical linear regression is only applicable for long term forecasting (monthly flows, for example), since it requires independent and identically distributed observations. It is a simple method of forecasting, and its hypotheses can be validated a posteriori if sufficient data are available. Box-Jenkins models include linear autoregressive models (AR), linear moving average models (MA), linear autoregressive - moving average models (ARMA), periodic ARMA models (PARMA) and ARMA models with auxiliary inputs (ARMAX). They are more adapted for weekly or daily flow forecasting, since the yallow for the explicit modeling of time dependence. Efficient methods are available for designing the model and updating the parameters as more data become available. For both statistical linear regression and Box-Jenkins models, the inputs must be uncorrelated and linearly related to the output. Furthermore, the process must be stationary. When it is suspected that the inputs are correlated or have a nonlinear effect on the output, the k-nearest neighbor method may be considered. This data-based nonparametric approach simply consists in looking, among past observations of the process, for the k events which are most similar to the present situation. A forecast is then built from the flows which were observed for these k events. Obviously, this approach requires a large database and a stationary process. Furthermore, the time required to calibrate the model and compute the forecasts increases rapidly with the size of the database. A clear advantage of stochastic models is that forecast uncertainty may be quantified by constructing a confidence interval. Three types of non-stochastic empirical models are also discussed: artificial neural networks (ANN), fuzzy linear regression and multivariate adaptive regression splines (MARS). ANNs were originally designed as simple conceptual models of the brain. However, for forecasting purposes, these models can be thought of simply as a subset of non linear empirical models. In fact, the ANN model most commonly used in forecasting, a multi-layer feed-forward network, corresponds to a non linear autoregressive model (NAR). To capture the moving average components of a time series, it is necessary to use recurrent architectures. ANNs are difficult to design and calibrate, and the computation of forecasts is also complex. Fuzzy linear regression makes it possible to extract linear relationships from small data sets, with fewer hypotheses than statistical linear regression. It does not require the observations to be uncorrelated, nor does it ask for the error variance to be homogeneous. However, the model is very sensitive to outliers. Furthermore, a posteriori validation of the hypothesis of linearity is not possible for small data sets. MARS models are based on the hypothesis that time series are chaotic instead of stochastic. The main advantage of the method is its ability to model non-stationary processes. The approach is non-parametric, and therefore requires a large data set.Amongst conceptual models, we distinguish between physical models, hydraulic machines, and fuzzy rule-based systems. Most conceptual hydrologic models are hydraulic machines, in which the watershed is considered to behave like a network of reservoirs. Physical modeling of a watershed would imply using fundamental physical equations at a small scale, such as the law of conservation of mass. Given the complexity of a watershed, this can be done in practice only for water routing. Consequently, only short term flow forecasts can be obtained from a physical model, since the effects of precipitation, infiltration and evaporation must be negligible. Fuzzy rule-based systems make it possible to model the water cycle using fuzzy IF-THEN rules, such as IF it rains a lot in a short period of time, THEN there will be a large flow increase following the concentration time. Each fuzzy quantifier is modeled using a fuzzy number to take into account the uncertainty surrounding it. When sufficient data are available, the fuzzy quantifiers can be constructed from the data. In general, conceptual models require more effort to develop than empirical models. However, for exceptional events, conceptual models can often provide more realistic forecasts, since empirical models are not well suited for extrapolation.A fruitful approach is to combine conceptual and empirical models. One way of doing this, called extended streamflow prediction or ESP, is to combine a stochastic model for generating meteorological scenarios with a conceptual model of the watershed.Based on this review of flow forecasting models, we recommend for short term forecasting (hourly and daily flows) the use of the k-nearest neighbor method, Box-Jenkins models, water routing models or hydraulic machines. For medium term forecasting (weekly flows, for example), we recommend the k-nearest neighbor method and Box-Jenkins models, as well as fuzzy-rule based and ESP models. For long term forecasting (monthly flows), we recommend statistical and fuzzy regression, Box-Jenkins, MARS and ESP models. It is important to choose a type of model which is appropriate for the problem at hand and for which the information available is sufficient. Each type of model having its advantages, it can be more efficient to combine different approaches when forecasting streamflow

La causalité entre la monnaie et le revenu : une analyse fondée sur un modèle VARMA-échelon

Les analyses de causalité, au sens de Wiener-Granger, sont habituellement fondées sur une spécification autorégressive (VAR) du processus générateur des données. C’est le cas, en particulier, pour les nombreuses études de causalité entre la monnaie et le revenu au niveau macroéconomique. Comme la spécification VAR ne constitue qu’une approximation et surtout n’est pas robuste à la désagrégation en sous-vecteurs, nous étudions ici la causalité entre monnaie et revenu à partir du cadre plus général et logiquement cohérent des modèles ARMA multivariés (VARMA). Pour résoudre les problèmes d’identification associés à ces modèles, nous considérons un modèle VARMA sous la forme échelon, lequel fournit automatiquement un modèle identifié. Nous utilisons, pour spécifier les ordres du modèle, la nouvelle méthodologie proposée par Nsiri et Roy (1992, 1996) et fondée sur une estimation des indices de Kronecker du modèle. Cette approche est appliquée à un modèle de l’économie américaine comprenant cinq variables : le revenu réel, le niveau des prix, un taux d’intérêt à court terme, la base monétaire et le multiplicateur de M1. Contrairement à certaines études antérieures, nous trouvons que les variables monétaires (base et multiplicateur) causent le revenu (au sens de Granger), la relation étant unidirectionnelle dans le cas de la base, tandis que le taux d’intérêt ne cause pas directement le revenu, mais a possiblement un effet indirect passant par les variables monétaires. Le niveau des prix apparaît comme une variable passive sans influence sur les autres variables du système.Causality analysis in the sense of Wiener-Granger are usually based on a vector autoregressive (VAR) specification of the data-generating process. This is the case in particular for the numerous studies of causality between money and income in macro-economics. Since a VAR specification is typically only approximate and, most importantly, is not robust to disaggregation into subvectors, we study here causality between money and income using the more general and logically coherent framework of vector ARMA models (VARMA). To solve the identification problems associated with such models, we consider a VARMA model in echelon form, which is automatically identified. To specify the orders of the model, we use the new methodology proposed by Nsiri and Roy (1992, 1996) which is based on estimating the Kronecker indices of the model. This approach is applied to a five-variable model of the U.S. economy, containing: real income, the price level, a short-term interest rate, the monetary base and the M1 multiplier. Contrary to earlier studies, we find that monetary variables (base and multiplier) cause income (in the sense of Granger), causality being unidirectional causality in the case of the base, while the interest rate does not cause income directly but may have an indirect effect through monetary variables. The price level appears to be a passive variable with no influence on the other variables of the system

Racines unitaires en macroéconomie : le cas d’une variable

La présente étude fournit une introduction à certaines questions et concepts reliés aux racines unitaires autorégressives dans l’analyse statistique de modèles de séries chronologiques à une variable. On y aborde les sujets suivants : représentation des processus stochastiques, procédures de tests, questions reliées à leur puissance, interprétation des résultats et utilité pratique de prendre en compte des problèmes causés par la présence de racines unitaires. L’étude fait ressortir d’une part l’importance de la spécification de la partie déterministe de la série, et d’autre part l’utilité des tests de racines unitaires non pas en tant que moyens de découvrir le « vrai » processus sous-jacent mais en tant que moyens pratiques pour (i) imposer certaines restrictions utiles et (ii) permettre un guide quant à la classe appropriée de distributions asymptotiques à utiliser.This study presents an introduction to various concepts and issues related to autoregressive unit roots in the analysis of univariate time series models. The following topics are discussed: representation of the stochastic processes, testing procedures, issues related to the power of the tests, interpretation of the results and the practical usefulness of taking into account the problems caused by these unit roots. The study highlights the following points. First, unit root tests are highly dependent upon the specification of the deterministic component of the series. Secondly, tests for unit roots do not have much usefulness as a means of uncovering some kind of underlying "true process" but should be viewed rather as a device to 1) impose some useful restrictions, and ii) provide a guide to the appropriate asymptotic distribution to be used in subsequent steps